数学工具

这是一些我在过去几年中积累的有趣的数学和物理技巧的集合,在Unity的C#中实现。你可以随意使用这里的代码。

广义网格变形

一种极快的、通用的网格变形算法,具有任意的点放置和可配置的刚度。它具有一个理想的特性,即当"权重"(延展性)设置为0时,它表现得像刚性Kabsch,但随着权重的增加,它可以平滑地融入变形。

该实现类似于线性混合蒙皮,但蒙皮权重是通过反距离加权(在笛卡尔空间或表面空间中)自动计算的,而"骨骼旋转"则计算为最优地保持控制点之间的角度关系。

有符号距离场纹理渲染

一个简单的示例,用于光线行进和绘制/混合到体积距离场纹理。距离场是空间的区域,在空间的每个点上存储到最近表面的距离。这个属性允许它们表示和渲染任意几何形状和拓扑结构的实体形状。

这个特定的实现还存储了指向最近点的归一化向量(场的法线或梯度)。这对于物理查询和照明很有用(无需进行数值导数)。

Kabsch

也称为Procrustes分析,该算法可以接受任意一组点对,并找到全局最优的刚性平移和旋转,以最小化这些点对之间的距离。非常有用,而且计算成本很低。使用Matthias Muller的极分解求解器代替SVD,如这里所述: https://animation.rwth-aachen.de/media/papers/2016-MIG-StableRotation.pdf

更新:添加了平均任意数量四元数的示例;可能比归一化的线性插值(在线性空间中平均四元数分量然后归一化)更准确。

最小二乘线/平面拟合 [图片]

一个通用的辅助工具,用于在3D中拟合点集的线和平面。使用一种新颖的*无矩阵公式来求解最佳拟合的正交线和平面;算法没有奇异性,可扩展到任意维度。

*(据我所知;我没有见过有人尝试不使用SVD进行正交回归(对于仅仅是最佳拟合的线/平面来说,SVD可能是不必要的昂贵))

立体/鱼眼相机 [维基]

一个预制件,将四个摄像机的图像连接并扭曲成一个180度的鱼眼视图,进行立体投影。

Verlet软体、刚体和链条

使用verlet积分(基于位置的动力学的一个子集)来模拟软/刚体、布料和粒子链接链条的多个示例。

卡尔曼滤波器 [维基]

卡尔曼滤波器的教科书实现(从维基百科转录)。卡尔曼滤波器是贝叶斯滤波的一种形式;它们能够接收来自多个来源的信息,并将它们"融合"成比任何组成信号都更清晰/准确的信号。一个正确调谐的卡尔曼滤波器在数学上是将嘈杂数据实时转换为清晰数据的"最优"技术(只要噪声遵循高斯分布,数据线性变化)。在实践中,人们必须处理偏差和非线性变化的量。

约束/逆运动学

一组约束函数,可用于构建迭代逆运动学求解器。

CCDIK和运动雅可比概念背后的不错的入门教程

逆运动学: CCDIK 图解 vs FABRIK 图解

通过将机器人与其环境(和自身)的穿透绘制为距离场来可视化"配置空间",其中每个轴是单个关节的角度/配置。通过在这个空间的有效区域中进行路径查找,实际上是在规划机器人从一个配置到另一个配置的运动。配置空间的梯度也可以用于机器人从无效配置的轻微去穿透。然而,由于预计算配置空间很慢(并且必须针对环境中的对象重新进行),我开发了CCDIK的一个变体(CCCDIK :) ),它通过暂时将接触点视为新的末端执行器来迭代地从环境中去穿透自身。

其他实验:

Nelder-Mead (变形虫) 数值优化器 [维基]

Nelder和Mead的无梯度数值优化方法的通用n维实现,用于最小化代价函数。这是一种流行的优化技术,适用于高维度和无梯度信息的问题。包括一个优化5自由度IK系统的示例(远不如CCDIK高效,但整体更灵活)。还包含一个数值梯度下降优化器用于比较。

线性分配

Roy Jonker著名的线性分配问题解决方案的移植。允许你取两个任意对象列表(每个列表中的对象与另一个列表中的对象配对都有一个成本),并找到这些列表中对象之间的全局最优配对。非常方便。

有关商业许可详情,请参阅源文件。

空间哈希

Matthias Muller Fischer的O(1)空间哈希系统的重新实现,用于粒子-粒子碰撞查找。通常比朴素的O(n^2)碰撞检查快20倍以上。

线性混合蒙皮

一个参考实现,演示如何使用蒙皮网格渲染器中包含的数据将骨骼运动应用于模型。正如他们所说,给网格蒙皮的方法不止一种。

逐像素纹理重投影

演示如何设置一个着色器,使用(禁用的)摄像机作为投影器视锥体将纹理投影到场景几何体上。对幻觉很有用。

准随机点生成

包含一个用于生成任意维度和点数的近似均匀准随机分布点的类。基于以下文章: http://extremelearning.com.au/unreasonable-effectiveness-of-quasirandom-sequences/

距离场粒子位移 [动图]

展示了一种有趣的技术,用于使粒子围绕距离场流动(在UE4的Niagara中效果会非常好)。

闵可夫斯基差可视化器

使用计算着色器实时绘制任意2D闵可夫斯基"差"。闵可夫斯基和(及其修改版"闵可夫斯基差")是碰撞检测中的核心操作。这个概念提供了一种完全通用的方法来确定任意两个物体是否相交,以及将它们分开的最小平移量。关键是确定原点(操作中使用的坐标系的原点)是否在结果闵可夫斯基差形状内。GJK是一种碰撞检测技术,通过对隐式闵可夫斯基差进行少量采样,快速实现了这种检查。