NeuralPDE

NeuralPDE.jl 是一个求解器包，包含使用物理信息神经网络（PINNs）求解偏微分方程的神经网络求解器。该包利用神经随机微分方程来解决 PDE，与经典方法相比，具有更高的通用性。

安装

假设您已正确安装 Julia，只需以标准方式安装 NeuralPDE.jl 即可，即输入 ] add NeuralPDE。注意：要退出 Pkg REPL 模式，只需按 <kbd>Backspace</kbd> 或 <kbd>Ctrl</kbd> + <kbd>C</kbd>。

教程和文档

有关使用该包的信息，请参阅稳定版文档。使用开发中的文档可查看包含未发布功能的文档版本。

特性

用于求解 ODE、SDE、RODE 和 PDE 的物理信息神经网络
能够定义额外的损失函数，将 xDE 求解与数据拟合结合（科学机器学习）
从高级符号接口自动构建物理信息损失函数
sophisticated 技术，如二次训练策略、自适应损失函数和神经适配器，以加速训练
用于处理 TensorBoard 连接的集成日志套件
处理（偏）积分微分方程和各种随机方程
用神经网络求解 ODEProblem 的专门形式
与 Flux.jl 和 Lux.jl 兼容，可使用这些库提供的所有 GPU 驱动的机器学习层
与 NeuralOperators.jl 兼容，可将 DeepONets 和其他神经算子（傅里叶神经算子、图神经算子等）与物理信息损失函数混合使用

示例：使用物理信息神经网络求解二维泊松方程

using NeuralPDE, Lux, ModelingToolkit, Optimization, OptimizationOptimisers
import ModelingToolkit: Interval, infimum, supremum

@parameters x y
@variables u(..)
Dxx = Differential(x)^2
Dyy = Differential(y)^2

# 2D PDE
eq = Dxx(u(x, y)) + Dyy(u(x, y)) ~ -sin(pi * x) * sin(pi * y)

# 边界条件
bcs = [u(0, y) ~ 0.0, u(1, y) ~ 0,
    u(x, 0) ~ 0.0, u(x, 1) ~ 0]
# 空间和时间域
domains = [x ∈ Interval(0.0, 1.0),
    y ∈ Interval(0.0, 1.0)]
# 离散化
dx = 0.1

# 神经网络
dim = 2 # 维度数
chain = Lux.Chain(Dense(dim, 16, Lux.σ), Dense(16, 16, Lux.σ), Dense(16, 1))

discretization = PhysicsInformedNN(chain, QuadratureTraining())

@named pde_system = PDESystem(eq, bcs, domains, [x, y], [u(x, y)])
prob = discretize(pde_system, discretization)

callback = function (p, l)
    println("当前损失为: $l")
    return false
end

res = Optimization.solve(prob, ADAM(0.1); callback = callback, maxiters = 4000)
prob = remake(prob, u0 = res.minimizer)
res = Optimization.solve(prob, ADAM(0.01); callback = callback, maxiters = 2000)
phi = discretization.phi

以及一些分析：

xs, ys = [infimum(d.domain):(dx / 10):supremum(d.domain) for d in domains]
analytic_sol_func(x, y) = (sin(pi * x) * sin(pi * y)) / (2pi^2)

u_predict = reshape([first(phi([x, y], res.minimizer)) for x in xs for y in ys],
    (length(xs), length(ys)))
u_real = reshape([analytic_sol_func(x, y) for x in xs for y in ys],
    (length(xs), length(ys)))
diff_u = abs.(u_predict .- u_real)

using Plots
p1 = plot(xs, ys, u_real, linetype = :contourf, title = "解析解");
p2 = plot(xs, ys, u_predict, linetype = :contourf, title = "预测");
p3 = plot(xs, ys, diff_u, linetype = :contourf, title = "误差");
plot(p1, p2, p3)

引用

如果您在研究中使用了NeuralPDE.jl，请引用这篇论文：

@article{zubov2021neuralpde,
  title={NeuralPDE: Automating Physics-Informed Neural Networks (PINNs) with Error Approximations},
  author={Zubov, Kirill and McCarthy, Zoe and Ma, Yingbo and Calisto, Francesco and Pagliarino, Valerio and Azeglio, Simone and Bottero, Luca and Luj{\'a}n, Emmanuel and Sulzer, Valentin and Bharambe, Ashutosh and others},
  journal={arXiv preprint arXiv:2107.09443},
  year={2021}
}